\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
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\usepackage{ctex}

\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{局域性}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4\linewidth]{interaction2}
		\caption{示意图 a：经典力学的观点, b：场论的观点}
		\label{fig:locality}
	\end{figure}
	
	\footnote{笔记使用AI辅助}
	正如 David Tong 在他的笔记中多次强调，“局域性”是物理学中的一个基本概念，
	它指的是物理量或事件的影响被限制在一个局部的空间区域内，而不能瞬时影响到远处。
	这一原则意味着所有物理过程都应通过局部的方式发生。
	狭义相对论进一步明确指出，相互作用和信息的传播速度不能超过光速。
	
	我们来看一个简单的例子。当你开启空调时（忽略空调吹出的风带来的复杂空气动力学效应），
	通常会观察到空调出风口首先变冷，接着是靠近空调的半边房间，最后是另一半边的房间。
	也就是说，空调的效果也是“局域”的。
	你不能期望这边的空调一开，地球的另一边就会立刻变冷！
	
	\subsection{经典力学的非局域性}
	这听起来非常有道理。然而，经典力学实际上并不符合局域性原则。
	经典力学中几乎任何形式的相互作用都是瞬时施加给粒子的。
	例如，粒子1感受到的粒子2的引力为： 
	\begin{equation}
		 \dv{\bvec p}{t} = \bvec{F} = G \frac{m_1 m_2}{\abs{\bvec r_2 - \bvec r_1}^2} \bvec{\hat r} 
	\end{equation} 
	这意味着，如果粒子2的位置发生变化，粒子1所感受到的引力会立即因粒子2的位置变化而改变。据说Newton本人也怀疑过这一论断的合理性。
	即使是经典分析力学也没有解决这个问题：
	 \begin{equation} 
		\dv{p_i}{t} = - \pdv{H}{q_i} \qquad \dv{q_i}{t} = \pdv{H}{p_i} \quad H=H(p_i,q_i,...,t) 
	\end{equation} 
	Hamilton量显式包含各个广义坐标和动量，这意味着粒子位置和动量的任何变化都会立即、全局地改变整个系统的Hamilton量，进而改变系统的动力学性质。

	\newpage
	\subsection{场的观点有助于体现局域性}
	为了克服这一困难，我们需要改变对“相互作用”的理解。
	我们认为，两个（或多个）粒子之间的相互作用需要通过某种“媒介”传递，这种媒介通常被称为场。
	在场的语言下，粒子之间的相互作用可以分为以下三个步骤：
	\begin{itemize}
		\item 粒子影响其所在位置的局域范围内的场；
		\item 这一影响在场中逐步传递；
		\item 另一个粒子受其所在位置的局域范围内的场的影响。
	\end{itemize}
	这样，物理规律的局域性就得到了保证：粒子只影响局域范围内的场；场只在局域范围内逐步变动；粒子也只受局域范围内的场的影响。
	此外，为了体现局域性，粒子与场的运动规律应由偏微分方程而非积分方程描述。
	因为积分涉及对一定空间区域的运算，而“一定的空间区域”这个概念本身就可能违反局域性。
	
	一提到“场”，我们往往联想到“电磁场”、“引力场”这些高深莫测的概念。
	然而，许多非常形象的事物也可以在相应的交互中充当“媒介”。
	例如，房间中温度的分布、空气中气压的分布、乃至水面上浪花的高度等，都可以被视为一种“场”。
	当我们在水面上蹬出水花时，我们就改变了局域的“波浪场”。

	\subsection{举个例子}
	更具体地说，我们回到空调的例子。 
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5\linewidth]{diffusion}
		\caption{一维扩散示意图（为了视觉效果，时刻不是准确的）。
			a. $t=t_0$，
			b. $t_0<t<t_n$,
			 c. $t=t_n$}
		\label{fig:diffusion}
	\end{figure}
	
	虽然这看起来并不涉及“粒子相互作用”（除非考虑构成空气的粒子的复杂运动过程），但在原理上是相通的。 
	由于房屋内的温度处处有定义，我们引入“温度场”以描述房间内各个时刻温度的分布规律：
	\begin{equation}
		T=T(x,y,z,t)
	\end{equation}
	假设房间内温度的变化遵循扩散方程：
	\begin{equation}
	\pdv{T}{t} = D \laplacian T
	\end{equation}
	其中$T$是温度场，$\laplacian = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$，
	在一维下将其离散化，得到：
	\begin{equation}
	T_i^{(k+1)} = T_i^{(k)} + D \left( \frac{\Delta t}{(\Delta x)^2} \right) \left( T_{i+1}^{(k)} - 2T_i^{(k)} + T_{i-1}^{(k)} \right)
	\end{equation}
	其中 $i$ 代表离散空间步 $x_i = x_0 + i \Delta x$，$k$ 代表离散时间步 $t^{(k)} = t^{(0)} + k \Delta t$。
	从离散形式的扩散方程更容易看出，某时某处温度的变化与其邻近区域的温度有关，但与远处的温度无关。

	假设空间中有 $x_0, x_1, \ldots, x_n$ 等点，一台空调位于$x_0$，而一支温度计位于 $x_n$。
	\begin{itemize}
		\item 在时刻 $t^{(0)}$，空调作为“冷源”，开始对 $x_0$处的温度场 $T_0$ 施加影响、使$x_0$ 处的温度降低。
		然而，在同一时刻 $t^{(0)}$，$x_n$ 处的温度 $T_n$ 不会变化。 
		根据扩散方程，$T_n$ 只能感受到其周围温度的变化，而无法直接感知 $x_0$ 处的情况，由于 $x_n$ 周围的温度均未变化，因此 $T_n$ 不会变化。
		
		\item 在下一时刻 $t^{(1)}$，$x_1$ 处的温度 $T_1$ 才感受到 $x_0$ 处的 $T_0$ 的变化，
		因此也发生变化； 
		随后，在下一时刻 $t^{(2)}$，$x_2$ 处的温度 $T_2$ 才感受到 $x_1$ 处的 $T_1$ 的变化，
		因此也发生变化... 

		\item 如此继续，直到足够长的时间后，例如 $t^{(k)}$ 时，$x_n$ 处的温度 $T_n$ 才会变化，
		这时温度计的读数才会被改变，即此时 $x_0$ 处空调的“冷气”才（部分）传递到 $x_n$。
		根据扩散方程，传递的速度由扩散系数 $D$ 决定。

	\end{itemize}
	可见，场和偏微分方程的语言更好地体现了温度传递过程的局域性。

	在经典物理中，电动力学或许是第一门完整地采纳了上述场的概念的学科，
	他运用电磁场的观点将“超距”的电荷间直接的相互作用改写为“局域”的电荷与电磁场的相互作用。

%	在更高深的物理学科，例如电动力学中，情况也类似，尽管电磁场的方程是Maxwell方程而不是扩散方程。
%	在经典物理中，电动力学或许是第一门完整地采纳了上述场的概念的学科，他引入了电磁场的观点并改写了电荷之间的相互作用：
%	\begin{itemize}
%		\item 电荷对局域场产生的影响由有源Maxwell方程描述（电荷产生电场，电流产生磁场）；
%		\item 影响在场中的传递由无源Maxwell方程描述（电磁波）；
%		\item 局域场对粒子的影响由Lorentz力描述。 
%		前两个Maxwell方程组较为复杂，此处略去不写，
%		但Lorentz力的形式相对简单：
%		\begin{equation}
%			\dv{\bvec p}{t} = \bvec F = q \bvec E + q \bvec v \times \bvec B 
%		\end{equation} 
%		这种形式的Lorentz力清晰地展示了粒子受到的是局部电磁场的作用，而非经典力学中两个电荷间的“超距作用”。
%	\end{itemize}
%	通过这些方程，电动力学不仅描述了电荷如何产生电磁场，还描述了电磁场如何在空间中传播，以及如何影响其他带电粒子等。

	\subsection{总结}
	正如我们前面所述，物理规律的局域性和场的观点不仅限于电动力学或量子力学这些看似神秘莫测、令人生畏的学科。
	即使是空调冷却、海浪翻滚、风吹草动等日常生活现象，也同样离不开场和局域性的概念。
	因此，越来越多的工程学科采用了基于场和偏微分方程的数学工具，以更好地描述物理规律的局域性。

	总之，场与物理过程的局域性观点是一个非常基础的概念。
	尽管在量子纠缠等前沿问题中局域性正在受到挑战，但至少在经典物理中局域性仍是优雅而重要的。
\end{document}
